[Maths] Random-Problems #3-ゆっくり勉強ちゃんねる

目次[非表示]

1.Problem
2.Answer
- 2.1.Case 1
- 2.2.Case 2
3.End

Problem

次の等式を満たす複素数

$x$ を全て答えよ。

$x^4 + 81 = 0$

Answer

Case 1

$\begin{eqnarray*} x^4 + 81 &= 0 \\ x^4 + 3^4 &= 0 \\ x^4 + \color{red}{2 \cdot 3^2 x^2} + \left( 3^2 \right)^2 - \color{red}{2 \cdot 3^2 x^2} &= 0 \\ \left( x^2 + 3^2 \right)^2 - \left( 3\sqrt{2} x \right)^2 &= 0 \\ \left(x^2 + 3 \sqrt{2} x + 9 \right) \left( x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9 \right) &= 0 \end{eqnarray*}$

$x^2 + 3 \sqrt{2} x + 9 = 0$ から、

$x = - \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i$

$x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9 = 0$ から、

$x = \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i$ よって、与えられた等式を満たす複素数

$x$ は

$\pm \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i$ の4つである。 (複号任意)

Case 2

オイラーの公式
実数

$\theta$ とネイピア数

$e$ , 虚数単位

$i$ に対して、次の等式が成り立つ。

$e^{i \theta} = \cos (\theta) + i \sin(\theta)$

$\begin{align*} x^4 + 81 &= 0 \\ x^4 &= -81 \\ &= 3^4 \cdot e^{i (2n+1) \pi} \quad (n \in \mathbb{Z}) \\ x &= \left( 3^4 \cdot e^{i (2n+1) \pi} \right)^\frac{1}{4} \\ &= 3 \cdot e^{i \frac{2n + 1}{4} \pi} \\ &= 3 \cdot \left( \cos \left( \frac{2n + 1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \frac{2n + 1}{4} \pi \right) \right) \\ &= 3 \cdot \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{2} i \right) \quad (\text{複号任意}) \\ &= \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i \end{align*}$