Problem
次の等式を満たす複素数\(x\)を全て答えよ。 \[ x^4 + 81 = 0\]Answer
Case 1
\[ \begin{eqnarray*} x^4 + 81 &= 0 \\ x^4 + 3^4 &= 0 \\ x^4 + \color{red}{2 \cdot 3^2 x^2} + \left( 3^2 \right)^2 - \color{red}{2 \cdot 3^2 x^2} &= 0 \\ \left( x^2 + 3^2 \right)^2 - \left( 3\sqrt{2} x \right)^2 &= 0 \\ \left(x^2 + 3 \sqrt{2} x + 9 \right) \left( x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9 \right) &= 0 \end{eqnarray*} \] \( x^2 + 3 \sqrt{2} x + 9 = 0 \) から、 \[ x = - \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i \] \( x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9 = 0 \) から、 \[ x = \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i \] よって、与えられた等式を満たす複素数\(x\)は\( \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i \) の4つである。 (複号任意)
Case 2
オイラーの公式
実数\(\theta\)とネイピア数\(e\), 虚数単位\(i\)に対して、次の等式が成り立つ。 \[ e^{i \theta} = \cos (\theta) + i \sin(\theta) \]
実数\(\theta\)とネイピア数\(e\), 虚数単位\(i\)に対して、次の等式が成り立つ。 \[ e^{i \theta} = \cos (\theta) + i \sin(\theta) \]
\[ \begin{align*} x^4 + 81 &= 0 \\ x^4 &= -81 \\ &= 3^4 \cdot e^{i (2n+1) \pi} \quad (n \in \mathbb{Z}) \\ x &= \left( 3^4 \cdot e^{i (2n+1) \pi} \right)^\frac{1}{4} \\ &= 3 \cdot e^{i \frac{2n + 1}{4} \pi} \\ &= 3 \cdot \left( \cos \left( \frac{2n + 1}{4} \pi \right) + i \sin \left( \frac{2n + 1}{4} \pi \right) \right) \\ &= 3 \cdot \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{2} i \right) \quad (\text{複号任意}) \\ &= \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \pm \frac{3}{\sqrt{2}} i \end{align*} \]
End
Case 1では複二次式の因数分解を、Case 2ではオイラーの公式を用いて回答しました。
因数分解を用いる方法は少ない知識で計算できるものの、オイラーの公式を用いる方が記述が綺麗に収まり読みやすかったです。
まだ他の解法も考えられるはずなので、もし思いついたら教えてくれると助かります。
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