[Maths] Random-Problems #4-ゆっくり勉強ちゃんねる

目次[非表示]

1.Problem
2.Answer
3.End

Problem

次の等式を満たす複素数

$z$ を全て答えよ。

$\cos (z) + i = 0$

Answer

単位円や波で定義された三角関数では、虚数(非実複素数)を扱うことはできない。
与えられた方程式の解を得る為、

$\cos (z)$ を複素数を扱える形に変える。具体的には、オイラーの公式を用いて変形する。

オイラーの公式
複素数

$z$ に対して、次の等式が成り立つ。

$e^{iz} = \cos (z) + i \sin (z)$

これを用いると

$\cos (z)$ はこのように表せる。

$\cos (z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ すると、与えられた等式は

$e^{iz}$ の2次方程式になる。

$\begin{align*} \cos (z) + i &= 0 \\ \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} + i &= 0 \\ \left( e^{iz} \right)^2 + 2i e^{iz} + 1 &= 0 \\ \end{align*}$ これを

$e^{iz}$ について解き、両辺の自然対数を取ることで解を得られる。

$\begin{align*} e^{iz} &= -i \pm \sqrt{(-i)^2 - 1} \\ &= -i \pm \sqrt{-2} \\ &= \pm i \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \\ iz &= \ln \left( \pm i \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \right) \\ &= \ln (\pm i) + \ln \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \\ &= \pm i \frac{4n + 1}{2} \pi \mp \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \quad \left( n \in \mathbb{Z} \right) \\ z &= \pm \frac{4n + 1}{2} \pi \pm i \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \\ &= \pm \left( \frac{4n + 1}{2} + i \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \right) \end{align*}$ * 3行目以降に現れた複号は同順で扱う。(式変形の流れを見れば当然)

End

$\begin{align*} & z \in \mathbb{C}, \cos (z) + i = 0 \\ & \Rightarrow z = \pm \left( \frac{4n + 1}{2} + i \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \right) \quad \left( n \in \mathbb{Z} \right) \end{align*}$

[Maths] Random-Problems #4

Problem

Answer

End

No comments:

Post a Comment

Contributor

Labels