Problem
次の等式を満たす複素数\(z\)を全て答えよ。 \[ \cos (z) + i = 0 \]Answer
単位円や波で定義された三角関数では、虚数(非実複素数)を扱うことはできない。与えられた方程式の解を得る為、\( \cos (z) \)を複素数を扱える形に変える。具体的には、オイラーの公式を用いて変形する。
オイラーの公式
複素数\(z\)に対して、次の等式が成り立つ。 \[ e^{iz} = \cos (z) + i \sin (z) \]
これを用いると\( \cos (z) \)はこのように表せる。
\[
\cos (z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}
\]
すると、与えられた等式は\( e^{iz} \)の2次方程式になる。
\[
\begin{align*}
\cos (z) + i &= 0 \\
\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} + i &= 0 \\
\left( e^{iz} \right)^2 + 2i e^{iz} + 1 &= 0 \\
\end{align*}
\]
これを\( e^{iz} \)について解き、両辺の自然対数を取ることで解を得られる。
\[
\begin{align*}
e^{iz} &= -i \pm \sqrt{(-i)^2 - 1} \\
&= -i \pm \sqrt{-2} \\
&= \pm i \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \\
iz &= \ln \left( \pm i \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \right) \\
&= \ln (\pm i) + \ln \left( \sqrt{2} \mp 1 \right) \\
&= \pm i \frac{4n + 1}{2} \pi \mp \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \quad \left( n \in \mathbb{Z} \right) \\
z &= \pm \frac{4n + 1}{2} \pi \pm i \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \\
&= \pm \left( \frac{4n + 1}{2} + i \ln \left( \sqrt{2} + 1 \right) \right)
\end{align*}
\]
* 3行目以降に現れた複号は同順で扱う。(式変形の流れを見れば当然)
複素数\(z\)に対して、次の等式が成り立つ。 \[ e^{iz} = \cos (z) + i \sin (z) \]
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