Problem
次の等式を満たす\(x\)の関数\(f\)を答えよ。 \[ \begin{align*} f + \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = 0 \end{align*} \]Answer
この微分方程式は 変数分離型 と呼ばれるものです。
変数分離型(微分方程式)
2つの変数を各辺に分けて表せる形のこと。
具体的には、\( x, y \)を変数とする微分方程式において、次の等式が成立すること。 \[ f(x) \mathrm{d} x = g(y) \mathrm{d} y \] \( f, g \)は関数とする。
与えられた式の変数\(f\)と\(x\)を各辺に分けます。また、自明な解(\( f = 0 \))を除いて回答します。
\[
\begin{align*}
f + \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= 0 \\
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= -f \\
\frac{1}{f} \mathrm{d} f &= - \mathrm{d} x \quad (f \neq 0) \\
\int \frac{1}{f} \mathrm{d} f &= \int \left( - \mathrm{d} x \right) \\
\ln |f| &= -x + \mathrm{C} \quad (\mathrm{C} \text{ は任意の定数}) \\
|f| &= e^{-x + \mathrm{C}} \\
f(x) &= \pm e^{-x + \mathrm{C}} \\
&=\pm e^{\mathrm{C}} \cdot e^{-x} \\
&= \mathrm{K} e^{-x} \quad (\mathrm{K} = \pm e^\mathrm{C})
\end{align*}
\]
また、\( \mathrm{K} = 0 \)を許すと同じ形で解を表すことができるようですね。
2つの変数を各辺に分けて表せる形のこと。
具体的には、\( x, y \)を変数とする微分方程式において、次の等式が成立すること。 \[ f(x) \mathrm{d} x = g(y) \mathrm{d} y \] \( f, g \)は関数とする。
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