[Maths] Random-Problems #5-ゆっくり勉強ちゃんねる

目次[非表示]

1.Problem
2.Answer
3.End

Problem

次の等式を満たす

$x$ の関数

$f$ を答えよ。

$\begin{align*} f + \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = 0 \end{align*}$

Answer

この微分方程式は変数分離型と呼ばれるものです。

変数分離型(微分方程式)
2つの変数を各辺に分けて表せる形のこと。
具体的には、

$x, y$ を変数とする微分方程式において、次の等式が成立すること。

$f(x) \mathrm{d} x = g(y) \mathrm{d} y$

$f, g$ は関数とする。

与えられた式の変数

$f$ と

$x$ を各辺に分けます。また、自明な解(

$f = 0$ )を除いて回答します。

$\begin{align*} f + \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= 0 \\ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= -f \\ \frac{1}{f} \mathrm{d} f &= - \mathrm{d} x \quad (f \neq 0) \\ \int \frac{1}{f} \mathrm{d} f &= \int \left( - \mathrm{d} x \right) \\ \ln |f| &= -x + \mathrm{C} \quad (\mathrm{C} \text{ は任意の定数}) \\ |f| &= e^{-x + \mathrm{C}} \\ f(x) &= \pm e^{-x + \mathrm{C}} \\ &=\pm e^{\mathrm{C}} \cdot e^{-x} \\ &= \mathrm{K} e^{-x} \quad (\mathrm{K} = \pm e^\mathrm{C}) \end{align*}$ また、

$\mathrm{K} = 0$ を許すと同じ形で解を表すことができるようですね。

End

$\begin{align*} & f + \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = 0 \\ & \Rightarrow f(x) = \mathrm{K} e^{-x} \quad (\mathrm{K} \text{は任意の定数}) \end{align*}$

[Maths] Random-Problems #5

Problem

Answer

End

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