[Maths] Random-Problems #6-ゆっくり勉強ちゃんねる

1.Problem
2.Answer
3.End

Problem

次の等式を満たす

x

$x$ の関数

f

$f$ を答えよ。

\begin{matrix} f + \frac{1}{\frac{d f}{d x}} = 0 \end{matrix}

$\begin{align*} f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} = 0 \end{align*}$

Answer

#5に続いて、こちらの問題も変数分離型の微分方程式です。文字

f

$f$ と

x

$x$ を各辺に分けることができます。

$\begin{align*} f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} &= 0 \\ f \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} + 1 &= 0 \\ f \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= -1 \\ f \mathrm{d} f &= - \mathrm{d} x \\ \int f \mathrm{d} f &= \int \left( - \mathrm{d} x \right) \\ \frac{1}{2} f^2 &= -x + \mathrm{C} \quad (\mathrm{C} \text{は任意の定数}) \\ x &= - \frac{1}{2} f^2 + \mathrm{C} \end{align*}$ また、

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \neq 0$ より

$f \neq 0$ です。

End

$\begin{align*} & f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} = 0 \\ & \iff x = - \frac{1}{2} f^2 + \mathrm{C} \quad \left( \mathrm{C} \text{は任意の定数}, f \neq 0 \right) \end{align*}$ 関数っぽい

$f$ が逆に独立変数として扱われていて面白いですね。

微分方程式は微分小なしで2つの変数の関係が分かればそれが解として扱われるので、どちらかの変数について解く必要はありません。学校のテストでは、もっと分かりづらい表記で回答してみましょう。

[Maths] Random-Problems #6

Problem

Answer

End

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