Problem
次の等式を満たす\(x\)の関数\(f\)を答えよ。
\[
\begin{align*}
f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} = 0
\end{align*}
\]
Answer
#5に続いて、こちらの問題も変数分離型の微分方程式です。
文字\(f\)と\(x\)を各辺に分けることができます。
\[
\begin{align*}
f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} &= 0 \\
f \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} + 1 &= 0 \\
f \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= -1 \\
f \mathrm{d} f &= - \mathrm{d} x \\
\int f \mathrm{d} f &= \int \left( - \mathrm{d} x \right) \\
\frac{1}{2} f^2 &= -x + \mathrm{C} \quad (\mathrm{C} \text{は任意の定数}) \\
x &= - \frac{1}{2} f^2 + \mathrm{C}
\end{align*}
\]
また、\( \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \neq 0 \)より\( f \neq 0 \)です。
End
\[
\begin{align*}
& f + \frac{1}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}} = 0 \\
& \iff x = - \frac{1}{2} f^2 + \mathrm{C} \quad \left( \mathrm{C} \text{は任意の定数}, f \neq 0 \right)
\end{align*}
\]
関数っぽい\(f\)が逆に独立変数として扱われていて面白いですね。
微分方程式は微分小なしで2つの変数の関係が分かればそれが解として扱われるので、どちらかの変数について解く必要はありません。学校のテストでは、もっと分かりづらい表記で回答してみましょう。
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