Problem
次の等式を満たす実数xを全て答えよ。 x4+x3+x2+x+1=0Digression
与えられた方程式は4次で、解の公式は存在するものの利用することは現実的ではない。Wikipediaに公式やその導出が載せられているかもしれない。けれど、理解していないものを使ってもどうしようもない。
方程式を見てみると、その左辺はxと1が対称的な同次式であることがわかる。
対称式 (対称な式)
式P(x1,x2,⋯,xn−1,xn)が対称的とは、
文字x1,x2,⋯,xn−1,xnをどのように入れ替えても元の式に等しいこと。
2次の場合は (文字x,yを用いて) P(x,y)=P(y,x)
3次なら(文字x,y,zを用いて) P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=P(y,z,x)=P(z,x,y)=P(z,y,x)
一般にn次の場合にはn!通りの組み合わせがあるが、その全てを記す方法は知らないので抽象的な文で一般の説明を終える。
式P(x1,x2,⋯,xn−1,xn)が対称的とは、
文字x1,x2,⋯,xn−1,xnをどのように入れ替えても元の式に等しいこと。
2次の場合は (文字x,yを用いて) P(x,y)=P(y,x)
が成り立つこと。
3次なら(文字x,y,zを用いて) P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=P(y,z,x)=P(z,x,y)=P(z,y,x)
が成り立つ。
一般にn次の場合にはn!通りの組み合わせがあるが、その全てを記す方法は知らないので抽象的な文で一般の説明を終える。
同次式
多項式において、その全ての項の次数が等しいこと。
x4+x3+x2+x+1=x4+1⋅x3+12⋅x2+13⋅x+14=4∑i=0xi⋅14−i=4∑i=0x4−i⋅1i
このようにして変形すれば、xと1について対称であることも同次であることもわかるだろう。
多項式において、その全ての項の次数が等しいこと。
Answer
与えられた方程式はx=0を解に持たない。ここで、両辺をx2割る。 x4+x3+x2+x+1=0x4+x3+x2+x+1x2=0x2x2+x+1+1x+1x2=0 すると、左辺がxと1xについての対称式として表された。次にu=x+1xと置き換える。 x2+x+1+1x+1x2=0(x2+1x2)+(x+1x)+1=0((x+1x)2−2)+(x+1x)+1=0u2−2+u+1=0(u=x+1x)u2+u−1=0 最終的に、4次で与えられた方程式を2次の方程式に帰着させることができた。
これをuについて解く。 u2+u−1=0u2+u+14=1+14(u+12)2=54u=−12±√52=−1±√52 少しuについて考える。
1xはxの逆数だ。x=0を除き、2数の正負は常に一致する。
相加相乗平均の関係を用いると x>0のときx+1x2≥√x⋅1xx+1x≥2x<0のとき−x+−1x2≥√(−x)⋅(−1x)x+1x≤−2 |u|≥2であることがわかった。
求めたuの値を見てみる。 √5<3⟺−1+√5<2⟺−1+√52<1−3<−√5⟺−4<−1−√5⟺−2<−1−√52 解である2つのuの値はどちらも絶対値が2未満である。つまり、条件を満たす実数xは存在しないことがわかった。
つまり、元の方程式の実数解が存在しないということだ。
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