Problem
\[ \begin{equation*} \text{極限} \lim_{x \to 0} \left( 1 + \sin (x) \right)^\frac{1}{x} \text{の値を答えよ。} \end{equation*} \]
Answer
\(x\)が十分に小さい(\(0\)に近い)とき、\(x\)と\(\sin (x)\)は限りなく近づく。すなわち、 \[ \lim_{x \to 0} x = \lim_{x \to 0} \sin (x) \] を満たす。
このことから、次のように与式を変形できる。 \[ \begin{align*} \lim_{x \to 0} \left( 1 + \sin (x) \right)^\frac{1}{x} &= \lim_{x \to 0} \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} \\ &= e \end{align*} \]
End
今日はMathJaxを初めて使ってみました。まだ調整ができておらず、あまり綺麗な表示ではありません。いずれ快適に使えるようにします。
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