[Maths] Random Problems #1-ゆっくり勉強ちゃんねる

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1.Problem
2.Answer
3.Links

Problem

極限

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{\left( x + h \right)^n - x^n}{h} \end{align*}$ の値を答えよ。ただし、

$n$ は自然数とする。

Answer

与えられた極限は、指数を自然数に限った冪関数

$x^n$ の導関数の定義そのものです。

導関数の定義
開区間

$I \subset \mathbb{R}$ 上で連続な関数

$f(x)$ に対して、その導関数

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ は次のように表される。

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{\left( x + h \right)^n - x^n)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \sum^n_{i = 0} \binom{n}{i} x^{n - i} h^i - x^n \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \sum^n_{i = 1} \binom{n}{i} x^{n - i} h^i \\ &= \lim_{h \to 0} \sum^n_{i = 1} \binom{n}{i} x^{n - i} h^{i - 1} \\ &= \lim_{h \to 0} \sum^{n - 1}_{i = 0} \binom{n}{i + 1} x^{n - 1 - i} h^i \\ &= \binom{n}{1} x^{n - 1} \\ &= n x^{n - 1} \end{align*}$ 初めの変形に二項定理を使い、

$x^n$ を打ち消すことと

$h$ で割る計算をできるようにしています。
二項定理の指数部分を実数まで許せば、指数部分を実数全体にまで拡張した冪関数の導関数も考えることができますね。

二項定理
実数

$a, b$ と自然数

$n$ に対して、次の等式が成り立つ。

$\begin{align*} \left( a + b \right)^n &= a^n + n a^{n - 1} b + \frac{1}{2} n(n - 1) a^{n - 2} b^2 + \cdots + \frac{1}{2} n (n - 1) a^2 b^{n - 2} + n a b^{n - 1} + b^n \\ &= \sum^n_{i = 0} \binom{n}{i} a^i b^{n - i} \end{align*}$ ただし、

$\begin{align*} \binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n - i)!} \end{align*}$ である。(二項係数)

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Problem's Source:
https://twitter.com/oicmath/status/1698266076096974878

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