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[Maths] Random Problems #0

Maths random-problems 関数方程式

t f B! P L

Problem

x0とする。関数fが次の等式を満たすとき、f(2)の値を答えよ。 f(1x)+1xf(x)=x02dt

Answer

初めに、 x02dt=[2t]x0=2x であり、与えられた等式は次のように表せます。 f(1x)+1xf(x)=2x ここにx=1z を代入します。 f(z)+zf(1z)=2z 元の式のxとこのzの取りうる範囲は、どちらも非零実数上(R{0})なので、その範囲でこの2つの等式は常に成立するのです。 つまり、zで表現した等式もxの式に書き換えられるということです。 {f(1x)+1xf(x)=2xf(x)+xf(1x)=2x これをf(x)について解き、xxと置き換えるとf(x)を得られます。 f(x)=x2+1x 最後にx=2を代入して、問題の答えを得ます。 f(2)=92

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