[Maths] Random Problems #0-ゆっくり勉強ちゃんねる

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Problem

x \neq 0

$x \neq 0$ とする。関数

$f$ が次の等式を満たすとき、

$f(2)$ の値を答えよ。

$f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) = \int^x_0 2 dt$

Answer

初めに、

$\begin{align*} \int^x_0 2dt &= \big[ 2t \big]^x_0 \\ &= 2x \end{align*}$ であり、与えられた等式は次のように表せます。

$f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) = 2x$ ここに

$x = - \frac{1}{z}$ を代入します。

$\begin{align*} f(-z) + -z f \left( \frac{1}{z} \right) = - \frac{2}{z} \end{align*}$ 元の式の

$x$ とこの

$z$ の取りうる範囲は、どちらも非零実数上(

$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ )なので、その範囲でこの2つの等式は常に成立するのです。つまり、

$z$ で表現した等式も

$x$ の式に書き換えられるということです。

$\begin{align*} \begin{cases} \begin{aligned} f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) &= 2x \\ f(-x) + -x f \left( \frac{1}{x} \right) &= - \frac{2}{x} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}$ これを

$f(-x)$ について解き、

$-x$ を

$x$ と置き換えると

$f(x)$ を得られます。

$\begin{align*} f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \end{align*}$ 最後に

$x = 2$ を代入して、問題の答えを得ます。

$f(2) = \frac{9}{2}$

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