Problem
\( x \neq 0 \)とする。関数\(f\)が次の等式を満たすとき、\( f(2) \)の値を答えよ。 \[ f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) = \int^x_0 2 dt \]Answer
初めに、 \[ \begin{align*} \int^x_0 2dt &= \big[ 2t \big]^x_0 \\ &= 2x \end{align*} \] であり、与えられた等式は次のように表せます。 \[ f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) = 2x \] ここに\( x = - \frac{1}{z} \) を代入します。 \[ \begin{align*} f(-z) + -z f \left( \frac{1}{z} \right) = - \frac{2}{z} \end{align*} \] 元の式の\(x\)とこの\(z\)の取りうる範囲は、どちらも非零実数上(\( \mathbb{R} \setminus \{0\} \))なので、その範囲でこの2つの等式は常に成立するのです。 つまり、\(z\)で表現した等式も\(x\)の式に書き換えられるということです。 \[ \begin{align*} \begin{cases} \begin{aligned} f \left( \frac{1}{x} \right) + \frac{1}{x} f (-x) &= 2x \\ f(-x) + -x f \left( \frac{1}{x} \right) &= - \frac{2}{x} \end{aligned} \end{cases} \end{align*} \] これを\( f(-x) \)について解き、\( -x \)を\(x\)と置き換えると\( f(x) \)を得られます。 \[ \begin{align*} f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \end{align*} \] 最後に\( x = 2\)を代入して、問題の答えを得ます。 \[ f(2) = \frac{9}{2} \]Links
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https://www.instagram.com/p/Ctq5v5IRunO/
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