[Maths] Random-Problems #8-ゆっくり勉強ちゃんねる

目次[非表示]

1.Problem
2.Answer
3.End

Problem

次の等式を満たす実数

$x$ を全て答えよ。ただし、

$n$ は1以上の整数とする。

$1 + x + x^2 + \cdots + x^{n - 1} = 0$

Answer

$\begin{align*} 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n - 1} &= 0 \\ \left( 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n - 1} \right) \cdot \frac{1 - x}{1 - x} &= 0 \quad (x \neq 1) \\ \frac{1 - x^n}{1 - x} &= 0 \\ 1 - x^n &= 0 \\ x^n &= 1 \\ &= e^{2m \pi i} \quad (m \in \mathbb{Z}) \\ x &= e^{\frac{2m}{n} \pi i} \quad (m \not\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ n)) \\ \end{align*}$

$x$ は

$1$ ではないので

$m$ が

$n$ の倍数になり得ない。また、

$x$ の絶対値は

$1$ なので実数解が存在するならば

$x = -1$ である。
ただ、#7の問題

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ のように実数解が存在しないものもあるようだ。次はその条件を探す。

$-1 = e^{(2k + 1) \pi i} \ (k \in \mathbb{Z})$ なので、

$x$ がこれに一致するように考えよう。

$\begin{align*} 2 \frac{m}{n} &= 2k + 1 \\ 2m &= n (2k + 1) \\ \end{align*}$

$2k + 1$ は奇数なので

$n$ が偶数でなければ両辺の偶奇が一致しない。

$n = 2n^{\prime}$ として進める。

$\begin{align*} 2m &= 2n^{\prime} (2k + 1) \\ m &= n^{\prime} (2k + 1) \\ \end{align*}$

$m$ をこのように取れば、

$n^{\prime}$ が1以上のどのような整数であっても

$x$ は

$-1$ である。
つまり、

$n$ が偶数であれば与えられた方程式は

$x = -1$ を解に持つわけだ。

End

$\begin{align*} \{ x \in \mathbb{R} | 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n - 1} = 0 \ (n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}) \} &= \begin{cases} \{ -1 \}, \ n \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 2) \\ \varnothing, \ n \equiv 1, \ (\mathrm{mod} \ 2) \end{cases} \end{align*}$ この形の方程式は、最高次の項の次数が偶数であれば実数解を持たず、奇数であれば

$x = -1$ を解に持つわけだ。
実際、#7では次数が4で実数解を持たなかった。例えば次数を1にすれば、

$x = - 1$ は明確に解だとわかるだろう。

方程式の次数より1つ多く項があるので次数が奇数だと奇数次の項と偶数次の項の数が一致し、丁度プラスとマイナスで全て打ち消し合うわけだ。

因みに、

$x = -1$ を代入した左辺は

$n$ についての極限値を持たない。

$0$ と

$1$ でその値が振動する。

$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$