Problem
定積分\( \begin{align*} \int^2_0 \max \left( 1 + x, 1 + x^2 \right) \mathrm{d} x \end{align*} \)の値を答えよ。
Answer
max関数
\( \max (x_1, x_2, \cdots, x_n) \)は実数\( x_1, x_2, \cdots, x_n \)の内、最大のものを返す。
例) \( \max(1, 2) = 2 \), \( \max (-3, -5, -8) = -3 \), \( \max (0, 0) = 0 \)
max関数の積分を我々は知らないので、被積分関数を異なる書き方で表現する必要がありそうだ。\( \max (x_1, x_2, \cdots, x_n) \)は実数\( x_1, x_2, \cdots, x_n \)の内、最大のものを返す。
例) \( \max(1, 2) = 2 \), \( \max (-3, -5, -8) = -3 \), \( \max (0, 0) = 0 \)
最も単純なものだと、事前にmax関数の値を調べてしまうことだろう。
\( 1 + x = 1 + x^2 \iff x = 0, 1 \)なので、与えられた積分の区間\( (0, 2) \)の中では\( x = 1 \)を中心に区間を分ければmax関数を解消できそうだ。 \[ \begin{align*} & 0 < x < 1 \iff 1 + x > 1 + x^2 \\ & x < 0 \text{ or } x > 1 \iff 1 + x < 1 + x^2 \end{align*} \] この大小関係を元にすると、与えられた積分は次のように変形できる。 \[ \begin{align*} \int^2_0 \max \left( 1 + x, 1 + x^2 \right) \mathrm{d} x &= \int^1_0 (1 + x) \mathrm{d} x + \int^2_1 \left( 1 + x^2 \right) \mathrm{d} x \\ &= \left[ x + \frac{1}{2} x^2 \right]^1_0 + \left[ x + \frac{1}{3} x^3 \right]^2_1 \\ &= \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \left( 2 + \frac{1}{3} 2^3 - 1 - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{29}{6} \end{align*} \]
Answer 2
引数が2つのmax関数は、絶対値記号を用いて次のように表すことができる。
\[
\max (\alpha, \beta) = \frac{\alpha + \beta + | \alpha - \beta |}{2}
\]
これを用いて与えられた積分を変形する。
\[
\begin{align*}
\int^2_0 \max \left( 1 + x, 1 + x^2 \right) \mathrm{d} x &= \int^2_0 \frac{1 + x + 1 + x^2 + \left| 1 + x - 1 - x^2 \right|}{2} \mathrm{d} x \\
&= \frac{1}{2} \int^2_0 \left(2 + x + x^2 + \left| x - x^2 \right| \right) \mathrm{d} x \\
&= \frac{1}{2} \left( \int^2_0 \left( 2 + x + x^2 \right) \mathrm{d} x + \int^1_0 \left( x - x^2 \right) \mathrm{d} x + \int^2_1 \left( x^2 - x \right) \mathrm{d} x \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \left[ 2x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 \right]^2_0 + \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]^1_0 + \left[ \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 \right]^2_1 \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{26}{3} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) \\
&= \frac{29}{6}
\end{align*}
\]
絶対値記号で表された関数の積分を扱えないので寧ろ長くなってしまった。この処理だと結局は\( 1 + x \)と\( 1 + x^2 \)の大小を比較しているので、1つめの解法とは根本的には同じことだ。
End
\[
\int^2_0 \max \left( 1 + x, 1 + x^2 \right) \mathrm{d} x = \frac{29}{6}
\]
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