主張
関数fの不定積分は次のように表せる。
∫f(x)dx=∫xaf(z)dz+C
証明
関数fの原始関数のひとつをFとする。
つまり、 ∫f(x)dx=F(x)+C
* F(a)はFの値域でしか値を変化させられないので、「任意の定数」と呼ぶには不十分。 例) F(x) = x^2 (実数値関数としては非負の値を取るので実数全体に対しては不足)
つまり、 ∫f(x)dx=F(x)+C
が成り立つとする。
これとFの定義域にあるaを用いて
∫xaf(z)dz=[F(z)+C]xa=F(x)−F(a)
と表すと
∫f(x)dx=∫xaf(z)dz+F(a)+C
が成り立つので、C′=F(a)+Cとして
∫f(x)dx=∫xaf(z)dz+C′
と表せる。* F(a)はFの値域でしか値を変化させられないので、「任意の定数」と呼ぶには不十分。 例) F(x) = x^2 (実数値関数としては非負の値を取るので実数全体に対しては不足)
End
こんなことを覚えて何になるのかというと、原始関数を初等関数で表せない積分についてこの表示を使うことがあります。
原始関数を表せないだけで積分の値そのものは扱うことがあるし、一部は値が求まることもあるのです。広義積分として、だったりはしますが。
原始関数を表せないだけで積分の値そのものは扱うことがあるし、一部は値が求まることもあるのです。広義積分として、だったりはしますが。
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