[Maths] Random-Problems #11

次の不定積分を計算せよ。 \[ \int x^n \ln (x) \mathrm{d} x \] \(n\)は自然数とする。

\[ \frac{\mathrm{d} \left( \ln (x) \right)}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{x} \] これが計算の鍵です。部分積分を用いて回答します。 \[ \begin{align*} \int x^n \ln (x) \mathrm{d} x &= \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} \ln (x) - \int \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d} x \\ &= \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} \ln (x) - \frac{1}{n + 1} \int x^n \mathrm{d} x \\ &= \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} \ln (x) - \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + \mathrm{C} \\ &= \frac{1}{(n + 1)^2} \left( (n + 1) x^{n + 1} \ln (x) - x^{n + 1} \right) + \mathrm{C} \\ &= \frac{1}{(n + 1)^2} x^{n + 1} \left( (n + 1) \ln (x) - 1 \right) + \mathrm{C} \\ \end{align*} \]

ぼ～っとネットを見ている間に目にしたので答案を残しておきます。